KDS 14 20 20 강도설계법 — 띠철근 기둥 축·휨 설계 (P-M 상관도)

예제 RC-C1 : 축력과 휨모멘트를 동시에 받는 띠철근 기둥의 검토

적용기준 : KDS 14 20 20 (콘크리트구조 휨 및 압축 설계기준), 강도설계법

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■ 기둥 단면 · 작용하중 개념도

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1. 설계 입력값 (값을 입력하고 ▶ 계산을 누르세요)

계수축력(소요) - P_u = 1500  kN

계수휨모멘트(소요) - M_u = 150  kN · m

단면 폭 - b = 400  mm

단면 높이 - h = 400  mm

피복(철근 도심까지) - d₁ = 50  mm

콘크리트 기준압축강도 - f_ck = 27  MPa

철근 기준항복강도 - f_y = 400  MPa

주철근 호칭 — D번호 (19/22/25/29/32) - D_no = 25 

인장측 철근 개수 - n_s = 3 

압축측 철근 개수 - n_sp = 3 

──────────── 이하 계산 과정 · 결과 (▶ 계산 시 결과창 표시) ────────────

철근 탄성계수 - E_s = 200000 MPa

인장측 유효깊이 - d = h − d₁ = 400 mm − 50 mm = 350 mm

압축측 철근 깊이 - dp = d₁ = 50 mm

선택 주철근 공칭지름 :

선택 D25 - d_b = 25.4 mm

철근 1개 공칭단면적 - A_b1 = π · d_b²4 = 3.141593 ·  ( 25.4 mm ) ²4 = 506.707479 mm²

인장측 철근량 - A_s = n_s · A_b1 = 3 · 506.707479 mm² = 1520.122437 mm²

압축측 철근량 - A_sp = n_sp · A_b1 = 3 · 506.707479 mm² = 1520.122437 mm²

전체 철근량 - A_st = A_s + A_sp = 1520.122437 mm² + 1520.122437 mm² = 3040.244875 mm²

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2. 재료·단면 계수 [KDS 14 20 20]

콘크리트 극한변형률 - epsilon_cu = 0.0033

등가응력블록 깊이계수 - beta₁ = 0.8

등가응력블록 응력 - f_c = 0.85 · f_ck = 0.85 · 27 MPa = 22.95 MPa

띠철근 기둥 강도감소계수(압축지배) - phi = 0.65

철근 항복변형률 - epsilon_y = f_yE_s = 400 MPa200000 MPa = 0.002

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3. 최대 설계축강도 [KDS 14 20 20] (e=0 부근, 띠철근)

공칭 순수축강도 - P_o = f_c ·  ( b · h − A_st )  + f_y · A_st = 22.95 MPa ·  ( 400 mm · 400 mm − 3040.244875 mm² )  + 400 MPa · 3040.244875 mm² = 4818.32433 kN

최대 설계축강도 - phiP_n.max = 0.8 · phi · P_o = 0.8 · 0.65 · 4818.32433 kN = 2505.528652 kN

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● 축방향 철근비 검토 [KDS 14 20 20 (4.3.2)]

축방향 철근비 - rho_g = A_stb · h = 3040.244875 mm²400 mm · 400 mm = 0.01900153

→ 철근비 O.K. (0.01 ≤ ρ_g ≤ 0.08, 겹침이음부 0.04) → 축강도 측면 O.K. (P_u ≤ φP_n,max)

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4. 균형파괴점 (Balanced) 산정

균형 중립축 깊이 - c_b = epsilon_cu · depsilon_cu + epsilon_y = 0.0033 · 350 mm0.0033 + 0.002 = 217.924528 mm

균형 응력블록 깊이 - a_b = beta₁ · c_b = 0.8 · 217.924528 mm = 174.339623 mm

콘크리트 압축합력 - C_cb = f_c · a_b · b = 22.95 MPa · 174.339623 mm · 400 mm = 1600.437736 kN

압축철근 변형률 - epsilon_spb = epsilon_cu ·  ( c_b − dp ) c_b = 0.0033 ·  ( 217.924528 mm − 50 mm ) 217.924528 mm = 0.002542857

압축철근 응력(≤f_y) - f_spb = min ( E_s · epsilon_spb; f_y )  = min ( 200000 MPa · 0.002542857; 400 MPa )  = 400 MPa

압축철근 합력(콘크리트 공제) - F_spb = A_sp ·  ( f_spb − f_c )  = 1520.122437 mm² ·  ( 400 MPa − 22.95 MPa )  = 573.162165 kN

인장철근 합력(항복) - F_sb = A_s · f_y = 1520.122437 mm² · 400 MPa = 608.048975 kN

균형 축강도 - P_b = C_cb + F_spb − F_sb = 1600.437736 kN + 573.162165 kN − 608.048975 kN = 1565.550926 kN

균형 휨강도(도심 기준) - M_b = C_cb · (h2 − a_b2) + F_spb · (h2 − dp) + F_sb · (d − h2) = 1600.437736 kN · (400 mm2 − 174.339623 mm2) + 573.162165 kN · (400 mm2 − 50 mm) + 608.048975 kN · (350 mm − 400 mm2) = 357.759363 kN · m

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5. 파괴유형 판정 (편심 비교)

설계 편심 - e = M_uP_u = 150 kN · m1500 kN = 100 mm

균형 편심 - e_b = M_bP_b = 357.759363 kN · m1565.550926 kN = 228.519786 mm

→ e ≤ e_b : 압축지배(콘크리트 압축파괴 선행) — P_u가 큰 영역

설계점 (M_u, P_u)이 아래 P-M 상관도 곡선 안쪽에 있으면 안전하다.

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6. P-M 상관도 작성

아래 함수는 중립축 깊이 c를 변화시키며 공칭 (M_n, P_n)을 계산한다.

철근 응력함수(±f_y로 제한) :

f_s ( epsilon )  = max ( min ( E_s · epsilon; f_y ) ; -f_y ) 

응력블록 깊이(≤h) :

a ( c )  = min ( beta₁ · c; h ) 

콘크리트 압축합력 :

C_c ( c )  = f_c · a  ( c )  · b

압축철근 변형률·합력(압축이면 콘크리트 공제) :

eps_sp ( c )  = epsilon_cu ·  ( c − dp ) c

F_sp ( c )  = A_sp ·  ( f_s  ( eps_sp  ( c )  )  − f_c ·  ( eps_sp  ( c )  > 0 )  ) 

인장철근 변형률·합력 :

eps_st ( c )  = epsilon_cu ·  ( c − d ) c

F_st ( c )  = A_s ·  ( f_s  ( eps_st  ( c )  )  − f_c ·  ( eps_st  ( c )  > 0 )  ) 

공칭 축강도·휨강도 :

P_n ( c )  = C_c  ( c )  + F_sp  ( c )  + F_st  ( c ) 

M_n ( c )  = C_c  ( c )  · (h2 − a  ( c ) 2) + F_sp  ( c )  · (h2 − dp) + F_st  ( c )  · (h2 − d)

그래프 설정(벡터 SVG, 적응형 메시 끔 — 작은 마커 누락 방지) :

PlotSVG = 1

PlotWidth = 500

PlotHeight = 350

PlotAdaptive = 0

φ 강도감소계수 함수 (인장철근 변형률 ε_t에 따라 압축지배 0.65 ~ 인장지배 0.85) :

eps_t ( c )  = epsilon_cu ·  ( d − c ) c

phi_f ( c )  = min(max(0.65 + eps_t  ( c )  − 0.0020.003 · 0.2; 0.65); 0.85)

설계강도 곡선 (φ 적용, 최대 설계축강도로 상한) :

phiP_n ( c )  = min ( phi_f  ( c )  · P_n  ( c ) ; phiP_n.max ) 

phiM_n ( c )  = phi_f  ( c )  · M_n  ( c ) 

설계점 (M_u, P_u)을 십자(+) 마커로 표시 (반팔길이: 휨 18kN·m, 축력 350kN) :

t_m ( c )  = c − 40 mm860 mm

hx ( c )  = M_u − 18 kN · m + 36 kN · m · t_m  ( c ) 

hy ( c )  = P_u

vx ( c )  = M_u

vy ( c )  = P_u − 350 kN + 700 kN · t_m  ( c ) 

그래프 : ① 공칭강도 P_n–M_n (바깥) ② 설계강도 φP_n–φM_n (안쪽) ③ 설계점 +

설계점 + 가 φ 곡선(안쪽) 내부에 있으면 안전 :

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7. 안전성 검토 (설계 편심 e 기준 — 휨부재 안전율 검토와 동일 개념)

설계 편심 e = M_u/P_u 에 대응하는 상관도 위 강도점의 중립축 c를 求根으로 찾는다.

求根 구간(압축지배/인장지배에 따라 자동 설정) :

c_lo = c_b = 217.924528 mm

c_hi = 2000 mm

대응 중립축(求根) - c_d = $Root{M_n  ( c )  − e · P_n  ( c )  = 0; c ∈ [c_lo; c_hi]} = 313.190564 mm

그 점의 강도감소계수 - phi_d = phi_f  ( c_d )  = phi_f  ( 313.190564 mm )  = 0.65

설계 축강도 - phiP_d = min ( phi_d · P_n  ( c_d ) ; phiP_n.max )  = min ( 0.65 · P_n  ( 313.190564 mm ) ; 2505.528652 kN )  = 1790.956437 kN

설계 휨강도 - phiM_d = phi_d · M_n  ( c_d )  = 0.65 · M_n  ( 313.190564 mm )  = 179.095644 kN · m

안전율 (= φP_n/P_u = φM_n/M_u, 동일 반경선상) - SF = phiP_dP_u = 1790.956437 kN1500 kN = 1.193971

판정 : O.K. (같은 편심에서 설계강도 ≥ 소요 — 설계점이 상관도 안쪽)

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8. 참고 — 주요 점

설계점 - P_u = 1500 kN

M_u = 150 kN · m

순수압축(공칭) - P_o = 4818.32433 kN

균형점 - P_b = 1565.550926 kN

M_b = 357.759363 kN · m

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※ 게시용 샘플. 값을 수정하면 결과·상관도가 자동 갱신됩니다.